Teadmine kui tõenäosus

Varjatud vs vaadeldav

Klassikaline viga on püüd otseselt otsustada, kas õpilane „teab” teemat. See on võimatu: oskused elavad peas; me näeme ainult tulemusi (õiged / valed).

BKT-s loobume kindlusest ja ütleme:

Üliõpilasriik on peidetud muutuja. Me ei tea seda täpselt. Kuid me saame hinnata tõenäosust, et õpilane on selle omandanud.

See tõenäosus on keskne suurus:

P(L) = \mathbb{P}\big(\text{õpilane on oskuse omandanud}\big), \quad P(L) \in [0, 1]

“L” tähistab õpitud. See on vaid arv vahemikus 0 kuni 1.

$P(L) = 0.0$ – oleme kindlad, et nad ei tea.
$P(L) = 0.5$ — “pole aimugi.”
$P(L) = 1.0$ – kindlad, et teavad.

Praktikas on $P(L)$ harva täpselt 0 või 1 — mudel hoiab meelega kahtlusi. See on õige: üks õige vastus ei ole tõend; üks viga ei ole otsus.

Kust algväärtus pärineb

Kui õpilane kohtub esimest korda oskusega, määrame eelsuse $P(L_0)$ – meie oletus enne vaatlusi.

Kirjanduse vaikeväärtus on $P(L_0) = 0.2$ :

“Tõenäoliselt ei tea veel, aga võis midagi kuulda.”

Kui muud oskused tunduvad tugevad, saate neid tõsta. Kui teema on täiesti uus, jäta 0,2. Seda parameetrit saab hiljem tegelike andmete põhjal sobitada (vt Notebook 3 – EM fitting).

Mida modell pärast iga vastust teeb

Lihtsate sõnadega:

Õige vastus → $P(L)$ suureneb.
Vale vastus → $P(L)$ väheneb.
Mitte „tervete sammude kaupa“ – nihe sõltub eelnevast usaldusest ja libisemis-/arvamisparameetritest (vt peatükk 4).

Mõte: $P(L)$ liigub sujuvalt. See säästab mudelit kahest tavalisest tõrkest:

Paanika ühe vea pärast (“nad ei tea midagi!”).
Eufooria ühel õigel vastusel (“geenius!”).

Graafiliselt

Model confidence scale:

0 ────────●────────────────────────────────── 1
doesn't know  P(L)=0.2 (start)                   knows

After one correct task:
0 ─────────────────────●───────────────────── 1
                        P(L)=0.58

After two correct:
0 ─────────────────────────────────●───────── 1
                                    P(L)=0.87

Numbrid pärinevad tegelikest BKT-värskendustest vaikeparameetritega. Arvnäide tutvustab üksikasju.

Üks loendur mikrooskuse kohta

Oluline nüanss: me ei salvesta üks $P(L)$ õpilase kohta. Salvestame vektori:

Ivan:
  expand_brackets:       0.42
  distributive_law:      0.81
  signs:                 0.66
  move_across_equals:    0.55
  ...

Seega igal oskusel on oma trajektoor. Ivan võib olla tugev aritmeetikas ja nõrk sulgudes — ja mudel näeb seda.

Proovige: $P(L)$ liigub koos vastustega

Allpool on tõeline BKT simulaator. Vajutage ✓ või ✗ ja vaadake, kuidas $P(L)$ õigetele vastustele ronib või vigade peale langeb; $P(\text{solve})$ järgneb automaatselt.

BKT parameetrid

P(L₀)0.20priorP(T)0.10learningP(S)0.10slipP(G)0.20guess

Samm

P(L)

0.200

P(solve)

0.340

ZPD?

✗ ei

Märkus:

$P(L)$ ei taba kunagi täpselt 0 või 1 — BKT säilitab alati jääkmääramatuse;
pärast õiget vastust $P(L)$ hüppab üles, pärast viga langeb, kuid mitte sümmeetriliselt;
$P(\text{solve})$ on alati „tihedam” – $P(G)$ ja $1 - P(S)$ vahel, kuna see voldib ära arvamise ja libisemise müra.

Miks me talletame oskuse kohta $P(L)$ vektori ja miks üks üldine „matemaatikatase” on halb mõte – järgmine peatükk.