Mitmete oskustega ülesanded

Probleem on oskuste kogum

Päris õpikuteosed panevad harva ühe mikrooskuse proovile. Näide:

$2(x − 3) = 10$

vajab samaaegselt:

“linear_eq.expand_brackets”,
“arith.signs”,
“linear_eq.move_to_one_side”,
“lineaarne_ekv.jaga_koefitsiendiga”.

Kui Ivanil on ükskõik milline meisterlikkus null - ülesanne ebaõnnestub isegi siis, kui teised istuvad 0,95 juures.

$P(\text{solve})$ oskuste kombineerimine

Meil on oskused $P(\text{solve}_i)$ . Mis on liigend $P(\text{solve}_{\text{joint}})$ kogu ülesande jaoks?

Valik A: aritmeetiline keskmine (halb)

P_{\text{AM}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} P(\text{solve}_i)

Kolm oskust: $P_1 = 0.95$ , $P_2 = 0.95$ , $P_3 = 0.20$ .

P_{\text{AM}} = \frac{0.95 + 0.95 + 0.20}{3} = 0.70

Näeb välja ideaalne — valija karjub ZPD. Kuid Ivan kukub peaaegu kindlasti läbi – oskus 3 on 0,20.

Aritmeetiline keskmine peidab nõrga lüli.

Valik B: geomeetriline keskmine (paremal)

P_{\text{GM}} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log P(\text{solve}_i)\right) = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} P(\text{solve}_i)}

Sama näide:

P_{\text{GM}} = \sqrt[3]{0.95 \cdot 0.95 \cdot 0.20} = \sqrt[3]{0.1805} \approx 0.565

GM 0,565 — palju madalam kui AM. Selector näeb, et see ei ole tegelikult ZPD-s (| $0.565 - 0.7$ | endiselt suur) ja võib valida midagi paremat.

Miks karistab GM nõrku lülisid kõvemini

Kui mõni tegur on väike, kahaneb kogu toode. Geomeetriline keskmine pärib selle — ahela analoogia: üks nõrk lüli tõmbab keti kinni.

Võrdlustabel

$P_1$	$P_2$	$P_3$	AM	GM
0,5	0,5	0,5	0,500	0,500
0,7	0,7	0,7	0,700	0,700
0,9	0,9	0,3	0,700	0,624
0,95	0,95	0,2	0,700	0,503
0,99	0,99	0,1	0,693	0,461
0,5	0,5	0,05	0,350	0,171

Mida suurem on lõhe tugevate ja nõrkade oskuste vahel, seda rohkem langeb GM alla AM – täpselt see, mida me tahame.

Proovige: AM vs GM vs min

Libistage kolm $P(\text{solve})$ liugurit kõrvuti. Eriti lõbus: hoia P₁=P₂=0,95 ja pühkige P₃ 0,05-lt 1,0-le – GM paljastab nõrga oskuse; AM varjab seda.

Ülesanne kolme mikrooskusega. Liiguta liugureid ja vaata, kuidas erinevad agregatsiooniviisid käituvad.

P(solve₁)0.95P(solve₂)0.95P(solve₃)0.20

Aritm. keskm.

0.700

Geom. keskm. (meie)

0.565

min

0.200

Kui kasvõi üks P on madal, kukub GM järsult, AM mitte. min on liiga karm. GM on «nõrgima lüli» kompromiss, mida me vajame.

Rakendamine

Failis „web/lib/bkt.ts” arvutame GM-i logide summa kaudu numbrilise stabiilsuse tagamiseks (väikeste toodete allavool):

  const perSkillPL: Record<MicroSkillId, number> = {};
  let logSum = 0;
  for (const skillId of task.microskills) {
    const pL = state.mastery[skillId] ?? params.pInit;
    perSkillPL[skillId] = pL;
    logSum += Math.log(Math.max(1e-6, pSolve(pL, params)));
  }
  const pSolveJoint = Math.exp(logSum / task.microskills.length);

Märkus: Math.max(1e-6, ...) valvurid $\log(0) = -\infty$ . Praktikas jääb $P(\text{solve})$ tänu $P(G) > 0$ -le > 0, aga klamber on odav kindlustus.

Alternatiivid, mille jätsime vahele

Meetod	Idee	Miks mitte
Minimaalne $\min P_i$	ebaõnnestumine järgneb nõrgimale oskusele	Liiga karm; tugevad oskused veidi pehmendavad nõrku tegelikkuses
Toode $\prod P_i$	iseseisvuslugu	Sama nagu GM tõstetakse $n$ -nda astmeni; võrreldamatu erinevate $n$
Harmooniline keskmine	surub alla ka nõrgad lülid	Raskem pigistada; sarnane mõju GM
Mitmemõõtmeline logistika	regress oskuspaaridel	Vajab paaris parameetreid — suur andmeisu

GM — lihtne, tõlgendatav, matemaatiliselt motiveeritud kompromiss.

Ülesanded 5+ oskusega

Rohkem oskusi ⇒ tugevam “hajutuskaristus”. Trahv elementaarsete asjade eest; pikkade mitmeastmeliste probleemide puhul (10+ oskust) võib GM muutuda liiga pessimistlikuks.

Hackathoni kava: ülesanded 2–4 mikrooskustel. Kui üksus vajab 7+ – jagage sammudeks (igaüks üks mikrooskus) või tunnistage, et see on adaptiivseks modelleerimiseks liiga suur.

Mitme oskuse ülesanded — Q&A punktid

“Me koondame geomeetrilise keskmisega mikrooskuste lõikes – nii et ülesanne ebaõnnestub, kui mõni nõutud oskus ebaõnnestub. See vastab tegelikkusele paremini kui tavaline keskmistamine ja vastab ebaõnnestumiste käsitlemisele sõltumatute sündmustena.”

Elav näide

Sama arvutus töötab tegeliku maatriksi peal lehel Progressioonimaatriks → Selektori simulaator — 9 mikrooskust ja 20 ülesannet teemast «Defineerimine» (kureeris Andri Suga). Kliki “Tugev +/−, nõrk ×/÷” ja vaata, kuidas geomeetriline keskmine “tirib alla” just need ülesanded, kus nõrgenenud oskus on üks põhioskustest.

Aga kus harjutada lahendamist ennast?

Kaaslase-projekt — Tom Kabel-i MATx. Pärast seda, kui õpilane on omandanud modelleerimise (meie 9-mikrooskuse defining-skills maatriks), tuleb võrrandid kujul $2(x-3)=10$ veel lahendada — see on teine domeen, ja Tom on selle alla juba tööriista teinud. Vastavustabel 9↔9 on lehel Sild MATx-i.